BİRDEMETBİLGİ: BELİRTİSİZ KÜME

Belirtisiz küme (veya bulanık küme) kavramı, küme kavramının eleman olmanın derecelendirilmesine dayanan bir genelleştirilmesidir. Belirtisiz kümeler belirtisiz mantığın doğal bir genişlemesi olarak 1965 yılında A. Zadeh tarafından tanımlanmıştır. Bir nesne bir kümenin ya elemanı ya da elemanı değilken, bir belirtisiz kümenin belirli bir oranda kısmen elemanı olabilir.
Tanım
$X$ boştan farklı bir evrensel küme olarak seçilsin. Bir $A:X \to [0,1]$ fonksiyonuna $X$ üzerinde bir belirtisiz küme adı verilir.
Belirtisiz küme farklı şekillerde de tanımlanabilir ancak kümenin her nokta için $[0,1]$ kapalı aralığında bulunan bir üyelik değerine sahip olmasını anlatması bakımından bu tanımların hepsi birbirine denktir.
Bir $x$ ∈ $X$ elemanı için $A(x)$ değerine $x$ 'in A'daki elemanlık derecesi denir. Bu değer kimi zaman $\mu_{A} (x)$ ile de gösterilir. $A(x)=1$ olması klasik küme anlamında $x$ 'in $A$ 'nın elemanı olması, $A(x)=0$ olması ise klasik kümelerdeki $x$ 'in $A$ 'nın elemanı olmaması durumuna denk gelir.
Eğer bir $x$ için $A(x)= \alpha$ ise $x$ ∈^α $A$ yazılır ve $x$ 'in $A$ belirtisiz kümesinin $\alpha$ derecesinde elemanı olduğu söylenir.
Örneğin $A(x)=0,5$ yani $x$ ∈^0,5 $A$ olması $x$ 'in $A$ 'nın yarı yarıya elemanı olması şeklinde yorumlanır. ∈¹ klasik ∈, ∈⁰ klasik ∉ sembolüne karşılık gelir.

Belirtisiz alt küme

$A$ ve $B$ boş olmayan bir $X$ kümesi üzerinde iki belirtisiz küme olsun. Her $x \in X$ için $A(x) \le B(x)$ oluyorsa $A \subseteq B$ veya $A \le B$ yazılır ve $A$ 'nın $B$ 'nin bir belirtisiz alt kümesi olduğu söylenir.
$A$ ve $B$ belirtisiz kümelerinin eşitliği, her $x$ ∈ $X$ için $A(x)=B(x)$ olmasıyla tanımlanır. Buna göre $A$ 'nın $B$ 'ye eşit olması aynı zamanda hem $A \subseteq B$ hem de $B \subseteq A$ olması demektir.
$X$ üzerindeki bütün belirtisiz kümeler her $x$ ∈ $X$ için $X(x)=1$ ile tanımlanan $X$ belirtisiz kümesinin alt kümesiyken, her $x$ ∈ $X$ için $\varnothing (x)=0$ ile tanımlanan $\varnothing$ belirtisiz kümesi $X$ 'teki bütün belirtisiz kümelerin alt kümesidir. Bazen $X$ ve $\varnothing$ sembolleri yerine sırasıyla $1_X$ ve $0_X$ veya kısaca $1$ ve $0$ kullanılır.

Belirtisiz kümeler üzerinde işlemler

Kümeler için tanımlı olan birleşim, kesişim, tümleme, kartezyen çarpım gibi işlemlerin tümü belirtisiz kümeler üzerine de taşınabilir.
İki belirtisiz kümenin birleşimi $A \cup B$ veya $A \or B$ ile gösterilir ve bu kümeye eleman olma derecesi her $x$ ∈ $X$ için $( A \cup B )(x)=maks \{ A(x),B(x) \}$ olarak tanımlanır.
İki belirtisiz kümenin kesişimi ise $A \cap B$ veya $A \and B$ ile gösterilir ve bu kümeye eleman olma derecesi her $x$ ∈ $X$ için $( A \cap B )(x)=min \{ A(x),B(x) \}$ olarak tanımlanır.
$A$ ve $B$ sırasıyla $X$ ve $Y$ kümeleri üzerinde belirtisiz kümeler ise $A \times B$ de $X \times Y$ üzerinde bir belirtisiz kümedir ve her $(x,y) \in X \times Y$ için $(A \times B)(x,y)=min \{ A(x),B(y) \}$ şeklinde tanımlanır.
İki küme için tanımlanan bu işlemler maksimum ve minimum yerine sırasıyla supremum ve infimum alınarak herhangi sayıdaki belirtisiz kümeler ailesine genişletilebilir.
$A$ belirtisiz kümesinin tümleyeni $A^c$ veya $A'$ ile gösterilir ve her $x$ ∈ $A$ için $A^c (x)=1-A(x)$ formülüyle belirlenir. Klasik kümelerden farklı olarak bir $A$ belirtisiz kümesi için $A \cap A^c \not = \varnothing$ olması mümkündür.(Vikipedi)

BİRDEMETBİLGİ

Sayfalar

30 Kasım 2012 Cuma

BELİRTİSİZ KÜME

Belirtisiz alt küme

Belirtisiz kümeler üzerinde işlemler

Hiç yorum yok:

Yorum Gönder

İletişim Formu

BİR DAMLA ÜMİT

BİR DAMLA HUZUR

Bu Blogda Ara