30 Kasım 2012 Cuma

BELİRTİSİZ KÜME

Belirtisiz küme (veya bulanık küme) kavramı, küme kavramının eleman olmanın derecelendirilmesine dayanan bir genelleştirilmesidir. Belirtisiz kümeler belirtisiz mantığın doğal bir genişlemesi olarak 1965 yılında A. Zadeh tarafından tanımlanmıştır. Bir nesne bir kümenin ya elemanı ya da elemanı değilken, bir belirtisiz kümenin belirli bir oranda kısmen elemanı olabilir.
Tanım
X boştan farklı bir evrensel küme olarak seçilsin. Bir A:X \to [0,1] fonksiyonuna X üzerinde bir belirtisiz küme adı verilir.
Belirtisiz küme farklı şekillerde de tanımlanabilir ancak kümenin her nokta için [0,1] kapalı aralığında bulunan bir üyelik değerine sahip olmasını anlatması bakımından bu tanımların hepsi birbirine denktir.
Bir x∈X elemanı için A(x) değerine x'in A'daki elemanlık derecesi denir. Bu değer kimi zaman \mu_{A} (x) ile de gösterilir. A(x)=1 olması klasik küme anlamında x 'in A 'nın elemanı olması, A(x)=0 olması ise klasik kümelerdeki x 'in A 'nın elemanı olmaması durumuna denk gelir.
Eğer bir x için A(x)= \alpha ise x∈αA yazılır ve x 'in A belirtisiz kümesinin \alpha derecesinde elemanı olduğu söylenir.
Örneğin A(x)=0,5 yani x∈0,5A olması x 'in A 'nın yarı yarıya elemanı olması şeklinde yorumlanır. ∈1 klasik ∈, ∈0 klasik ∉ sembolüne karşılık gelir.

Belirtisiz alt küme

A ve B boş olmayan bir X kümesi üzerinde iki belirtisiz küme olsun. Her x \in X için A(x) \le B(x) oluyorsa A \subseteq B veya A \le B yazılır ve A 'nın B 'nin bir belirtisiz alt kümesi olduğu söylenir.
A ve B belirtisiz kümelerinin eşitliği, her x ∈ X için A(x)=B(x) olmasıyla tanımlanır. Buna göre A'nın B'ye eşit olması aynı zamanda hem A \subseteq B hem de B \subseteq A olması demektir.
X üzerindeki bütün belirtisiz kümeler her x∈X için X(x)=1 ile tanımlanan X belirtisiz kümesinin alt kümesiyken, her x∈X için \varnothing (x)=0 ile tanımlanan \varnothing belirtisiz kümesi X'teki bütün belirtisiz kümelerin alt kümesidir. Bazen X ve \varnothing sembolleri yerine sırasıyla 1_X ve 0_X veya kısaca 1 ve 0 kullanılır.

Belirtisiz kümeler üzerinde işlemler

Kümeler için tanımlı olan birleşim, kesişim, tümleme, kartezyen çarpım gibi işlemlerin tümü belirtisiz kümeler üzerine de taşınabilir.
İki belirtisiz kümenin birleşimi A \cup B veya A \or B ile gösterilir ve bu kümeye eleman olma derecesi her x∈X için ( A \cup B )(x)=maks \{ A(x),B(x) \} olarak tanımlanır.
İki belirtisiz kümenin kesişimi ise A \cap B veya A \and B ile gösterilir ve bu kümeye eleman olma derecesi her x∈X için ( A \cap B )(x)=min \{ A(x),B(x) \} olarak tanımlanır.
A ve B sırasıyla X ve Y kümeleri üzerinde belirtisiz kümeler ise A \times B de X \times Y üzerinde bir belirtisiz kümedir ve her (x,y) \in X \times Y için (A \times B)(x,y)=min \{ A(x),B(y) \} şeklinde tanımlanır.
İki küme için tanımlanan bu işlemler maksimum ve minimum yerine sırasıyla supremum ve infimum alınarak herhangi sayıdaki belirtisiz kümeler ailesine genişletilebilir.
A belirtisiz kümesinin tümleyeni A^c veya A' ile gösterilir ve her x∈A için A^c (x)=1-A(x) formülüyle belirlenir. Klasik kümelerden farklı olarak bir A belirtisiz kümesi için A \cap A^c \not = \varnothing olması mümkündür.(Vikipedi)
A.FERİK zaman: Hiç yorum yok:

BOŞ KÜME

Boş küme, matematikte hiçbir öğesi olmayan kümeye verilen addır. Boşkümeyi göstermek için \emptyset simgesi kullanılır.
Bir tane boşküme vardır, bu yüzden ona özel bir ad takılmıştır: boşküme. Boşkümenin biricik (eşsiz) olduğu rahatlıkla gösterilebilir:
Diyelim en az iki tane boşkümemiz var. Eşküme belitine göre iki küme ancak ve ancak birinin her bir öğesi diğerinde varsa eşittir. Diğer bir değişle birinde, diğerinde olmayan hiç öğe olmaması gerekir. Ancak boş kümelerin hiç öğesi yok! Yani biri için, diğerinde olmayan öğe yoktur. Demek ki bu iki küme birbirine eşittir, yani tek bir boş küme vardır.(Vikipedi)
A.FERİK zaman: Hiç yorum yok:

ALT KÜME

Matematikte, A ve B iki küme olmak üzere A'nın her elemanı B'nin de elemanı oluyorsa, A'ya B'nin alt kümesi denir. B'ye de A'nın kapsayan kümesi denir. Her küme kendisinin bir alt kümesidir. Boş küme her kümenin alt kümesidir.(VİKİPEDİ)
Dosya:Venn A subset B.svg
A.FERİK zaman: Hiç yorum yok:

KÜME

Küme, "nesneler topluluğu veya yığını" olarak tanımlanan bir matematik terimi. Bu tanımdaki "nesne" soyut ya da somut bir şeydir; fakat her ne olursa olsun iyi tanımlanmış olan bir şeyi, bir eşyayı ifade eder. Örneğin, "Tüm canlılar topluluğu", "Dilimiz abecesindeki harflerin topluluğu", "Masamın üzerindeki tüm kâğıtlar" tümcelerindeki nesnelerin anlaşılabilir, belirgin oldukları, kısaca iyi tanımlı oldukları açıktır. Dolayısıyla bu tümcelerin her biri bir kümeyi tarif eder. O halde, matematikte "İyi tanımlı nesnelerin bir topluluğuna küme denir" biçiminde bir tanımlama sezgisel olarak ilk başta yeterli olacaktır.
Tanımda geçen nesne sözcüğü aslında yeterince açıklık ifade eden bir sözcük değildir. Ama sezgisel olarak, kümeyi oluşturan nesnelerin iyice tanımlı olduklarını; yani belirgin, başka nesnelerden ayırdedilebilir şeyler olduklarını düşünüyoruz demektir. Bir bakıma, bir kümeyi oluşturan nesnelerin tek tek neler olduklarını düşünmekten çok, bir arada düşünebilir olmaları önemsenir.
Bir kümeyi oluşturan nesnelere o kümenin öğeleri veya batısal terimi ileelemanları adı verilir. Güneş, evrendeki yıldızlar kümesinin bir öğesidir. Bir kümenin öğesi olan bir nesneye o kümenin içindedir ya da kümeye aittir denir. Küme tanımına göre bir öğe ya kümenin içindedir ya da değildir.
İki kümenin kesişimi her iki kümede bulunan ortak öğelerden oluşur. Venn diyagramında gösterimi.
A ve B kümelerinin kesişimi

Küme Kavramları

  • Eğer a elemanı A kümesine aitse bu ifade a \in \!\, A diye; değilse a\notin \!\,A gösterilir.
  • A kümesinin eleman sayısı belirtilirken s(A) veya m(A) ifadesi kullanılır.
  • A ile B' nin kesişimi A \cap \!\, B şeklinde gösterilir.
  • A ile B' nin birleşimi A \cup \!\, B şeklinde gösterilir.
  • A' nın B'den farkı A/B , B'nin A'dan farkı B/A olarak gösterilir.
  • Eğer A kümesinin elemanlarının aynısı B kümesinde de varsa A\subseteq \!\, B(A,B'nin alt kümesidir.) veya B\supseteq \!\, A(B, A'yı kapsar.) ifadesi kullanılır. Eğer yoksa sembollerin üstüne bir çizik atılır.
  • Hiçbir öğesi bulunmayan kümeye boş küme denir ve { } şeklinde gösterilir.Bütün kümelerin alt kümesidir.
  • Bütün kümeleri kapsayan kümeye evrensel küme denir. ve E şeklinde gösterilir.Bu kavram görecelidir çünkü bazen sadece bulunduğu alanda evrensel küme olarak gösterilir.
  • Eğer s(A)=s(B) ise A, B kümesine denktir.Eğer elemanları aynıysa 'eşit'(A= \!\,B),hiçbir elemanı aynı değilse ayrık küme olurlar.(A\ne \!\,B)
  • E kümesinde A'dan ayrık olan elemanlar gösterilirken bu elemanlar A'nın tümleyeni kümesinde toplanır.(A^c \ )(A'nın üstünde bir virgül veya kısa çizgi.)


Küme kavramının matematiğe Georg Cantor (1845-1918) ile girdiği kabul edilir. Elbette Cantor'dan önce de, adına küme denilmese de, matematikçiler bu kavramı yer yer örtülü bir şekilde kullanıyorlardı. Cantor, kümeler kuramının temellerine ilişkin kapsamlı soruları ortaya koydu. Onun çalışmaları ve sorularından yola çıkarak matematiğin temelleri incelendi, araştırıldı, çıkmazları keşfedildi, paradokslarından temizlendi. Bu gelişmeler, matematiğin ve özellikle formalist akımın 20. yüzyılın ilk yarısında büyük ürünler vermesini sağladı. Bunun etkisiyle, Türkiye'de örgün öğretim programlarına "Modern Matematik" olarak adlandırılan konular dahil edildi.(Vikipedi)
A.FERİK zaman: Hiç yorum yok:
Kaydol: Kayıtlar (Atom)